Henry Segerman: Armonía material en matemáticas

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Última modificación: 2023-12-16 16:02

Según la leyenda, Pitágoras fue el primero en descubrir que dos cuerdas igualmente estiradas emiten un sonido agradable si sus longitudes están relacionadas como pequeños números enteros. Desde entonces, la gente ha estado fascinada por la misteriosa conexión entre la belleza y las matemáticas, una armonía completamente material de formas, vibraciones, simetría y una perfecta abstracción de números y relaciones.

Esta conexión es efímera, pero tangible, no en vano los artistas llevan muchos años utilizando las leyes de la geometría y se inspiran en las leyes matemáticas. Henry Segerman tuvo dificultades para abandonar esta fuente de ideas: después de todo, es un matemático por vocación y profesión.

Botella de Klein “Pegando mentalmente los bordes de dos tiras de Mobius”, dice Henry Segerman, “puede obtener una botella de Klein, que también tiene una superficie. Aquí vemos una botella de Klein hecha de tiras de Mobius con un borde redondo.

Más bien, cómo podría verse en un espacio tridimensional. Dado que las tiras “redondas” originales de Mobius van al infinito, entonces una botella de Klein continuará hasta el infinito dos veces y se cruzará a sí misma, lo que se puede ver en la escultura . Una copia ampliada de esta escultura adorna el Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Melbourne.

Fractales

“Nací en una familia de científicos y creo que mi interés en cualquier cosa que requiera un pensamiento espacial avanzado está relacionado con esto”, dice Henry. En la actualidad, ya se graduó de los estudios de posgrado y doctorado de Oxford en las universidades de Stanford y ocupa el cargo de profesor asociado en la Universidad de Oklahoma.

Pero una carrera científica exitosa es solo una cara de su personalidad polifacética: hace más de 12 años, el matemático comenzó a organizar eventos de arte … en el mundo virtual de Second Life.

Este simulador tridimensional con elementos de una red social fue entonces muy popular, permitiendo a los usuarios no solo comunicarse entre sí, sino también equipar sus "avatares" virtuales y áreas de entretenimiento, trabajo, etc.

Nombre: Henry Segerman

Nacido en 1979

Educación: Universidad de Stanford

Ciudad: Stillwater, EE. UU.

Lema: "Toma solo una idea, pero muéstrala lo más claramente posible".

Segerman llegó aquí, armado con fórmulas y números, y dispuso su mundo virtual de manera matemática, llenándolo de figuras fractales sin precedentes, espirales y hasta teseractos, hipercubos tetradimensionales. “El resultado es una proyección de un hipercubo de cuatro dimensiones en el universo tridimensional de Second Life, que a su vez es una proyección de un mundo virtual tridimensional en una pantalla plana bidimensional”, señala el artista.

Curva de Hilbert: una línea continua llena el espacio de un cubo, nunca se interrumpe ni se cruza consigo misma.

Las curvas de Hilbert son estructuras fractales, y si se acerca, puede ver que partes de esta curva siguen la forma del todo. “Los he visto miles de veces en ilustraciones y modelos de computadora, pero cuando tomé por primera vez una escultura en 3D en mis manos, noté inmediatamente que también era elástica”, dice Segerman. "La encarnación física de los conceptos matemáticos siempre sorprende con algo".

Sin embargo, le gustaba mucho más trabajar con esculturas de materiales. “Hay una gran cantidad de información circulando a nuestro alrededor todo el tiempo”, dice Segerman. - Afortunadamente, el mundo real tiene un ancho de banda muy grande, que aún no está disponible en la Web.

Dale a una persona una cosa terminada, una forma integral, e inmediatamente la percibirá en toda su complejidad, sin esperar a que se cargue . Entonces, desde 2009, Segerman ha creado un poco más de cien esculturas, y cada una de ellas es una encarnación visual y, en la medida de lo posible, física exacta de conceptos y leyes matemáticos abstractos.

Poliedros

La evolución de los experimentos artísticos de Segerman con la impresión 3D repite extrañamente la evolución de las ideas matemáticas. Entre sus primeros experimentos se encuentran los sólidos platónicos clásicos, un conjunto de cinco figuras simétricas, plegadas en triángulos, pentágonos y cuadrados regulares. Les siguieron poliedros semi-regulares: 13 sólidos de Arquímedes, cuyas caras están formadas por polígonos regulares desiguales.

Modelo 3D de Stanford Rabbit creado en 1994. Compuesto por casi 70,000 triángulos, sirve como una prueba simple y popular del desempeño de los algoritmos de software. Por ejemplo, en un conejo, puede probar la eficiencia de la compresión de datos o el suavizado de superficies para gráficos por computadora.

Por tanto, para los especialistas, esta forma es la misma que la frase "Cómete un poco más de estos blandos rollitos franceses" para aquellos a los que les guste jugar con las tipografías de ordenador. La escultura de Stanford Bunny es el mismo modelo, cuya superficie está pavimentada con las letras de la palabra conejito.

Ya estas formas simples, habiendo migrado de las ilustraciones bidimensionales y el mundo ideal de la imaginación a la realidad tridimensional, evocan una admiración interior por su lacónica y perfecta belleza. “La relación entre la belleza matemática y la belleza de las obras de arte visuales o sonoras me parece muy frágil.

Después de todo, muchas personas son muy conscientes de una forma de esta belleza, sin comprender por completo la otra. Las ideas matemáticas se pueden traducir a formas visibles o vocales, pero no todas, y no tan fácilmente como podría parecer”, agrega Segerman.

Pronto, formas cada vez más complejas siguieron a las figuras clásicas, hasta aquellas que difícilmente podrían haber pensado Arquímedes o Pitágoras, poliedros regulares que llenan el espacio hiperbólico de Lobachevsky sin intervalo.

Figuras con nombres increíbles como "panal tetraédrico de orden 6" o "panal de mosaico hexagonal" no pueden imaginarse sin una imagen visual a mano. O una de las esculturas de Segerman, que los representan en nuestro espacio euclidiano tridimensional habitual.

Sólidos platónicos: un tetraedro, octaedro e icosaedro plegados en triángulos regulares, así como un cubo y un icosaedro formados por cuadrados basados en pentágonos.

El mismo Platón los asoció con cuatro elementos: partículas octaédricas "lisas", en su opinión, aire plegado, icosaedros "fluidos" - agua, cubos "densos" - tierra, y tretraedros afilados y "espinosos" - fuego. El filósofo consideró que el quinto elemento, el dodecaedro, era una partícula del mundo de las ideas.

El trabajo del artista comienza con un modelo 3D, que construye en el paquete profesional Rhinoceros. En general, así es como termina: la producción de esculturas en sí, la impresión del modelo en una impresora 3D, Henry simplemente realiza pedidos a través de Shapeways, una gran comunidad en línea de entusiastas de la impresión 3D, y recibe un objeto terminado hecho de compuestos de matriz de metal a base de plástico o acero-bronce. “Es muy fácil”, dice. "Simplemente cargue un modelo en el sitio, haga clic en el botón Agregar al carrito, haga un pedido y en un par de semanas se lo enviará por correo".

Complemento en forma de ocho Imagine hacer un nudo dentro de un sólido y luego quitarlo; la cavidad restante se llama complemento del nodo. Este modelo muestra la adición de uno de los nudos más simples, el ocho.

belleza

En última instancia, la evolución de las esculturas matemáticas de Segerman nos lleva al complejo y fascinante campo de la topología. Esta rama de las matemáticas estudia las propiedades y deformaciones de superficies planas y espacios de diferentes dimensiones, y sus características más amplias son importantes para ella que para la geometría clásica.

Aquí, un cubo se puede convertir fácilmente en una bola, como plastilina, y una taza con asa se puede enrollar en una rosquilla sin romper nada importante en ellos, un ejemplo bien conocido plasmado en la elegante Broma topológica de Segerman.

El tesseract es un cubo de cuatro dimensiones: así como se puede obtener un cuadrado desplazando un segmento perpendicular a él a una distancia igual a su longitud, se puede obtener un cubo copiando de manera similar un cuadrado en tres dimensiones y moviendo un cubo en el cuarto, "dibujaremos" un tesseract o hipercubo. Tendrá 16 vértices y 24 caras, cuyas proyecciones en nuestro espacio tridimensional se parecerán un poco a un cubo tridimensional regular.

“En matemáticas, el sentido estético es muy importante, a los matemáticos les encantan los teoremas“hermosos”, argumenta el artista. - Es difícil determinar en qué consiste exactamente esta belleza, como, efectivamente, en otros casos. Pero yo diría que la belleza del teorema está en su simplicidad, que te permite entender algo, ver algunas conexiones simples que antes parecían increíblemente complejas.

En el corazón de la belleza matemática puede haber un minimalismo puro y eficaz, y una exclamación de sorpresa de "¡Ajá!" ". La profunda belleza de las matemáticas puede ser tan abrumadora como la gélida eternidad del palacio de la Reina de las Nieves. Sin embargo, toda esta fría armonía refleja invariablemente el orden interno y la regularidad del Universo en el que vivimos. Las matemáticas son solo un lenguaje que encaja sin lugar a dudas en este elegante y complejo mundo.

Paradójicamente, contiene correspondencias físicas y aplicaciones para casi cualquier enunciado en el lenguaje de fórmulas y relaciones matemáticas. Incluso las construcciones más abstractas y "artificiales" tarde o temprano encontrarán una aplicación en el mundo real.

Una broma topológica: desde cierto punto de vista, las superficies de un círculo y una rosquilla son "iguales", o, más precisamente, son homeomorfas, ya que son capaces de transformarse entre sí sin roturas ni pegamentos, debido a deformación gradual.

La geometría euclidiana se convirtió en un reflejo del mundo estacionario clásico, el cálculo diferencial fue útil para la física newtoniana. La increíble métrica de Riemann, como resultó, es necesaria para describir el universo inestable de Einstein, y los espacios hiperbólicos multidimensionales han encontrado aplicación en la teoría de cuerdas.

En esta extraña correspondencia de cálculos abstractos y números con los fundamentos de nuestra realidad, quizás, se encuentre el secreto de la belleza que necesariamente sentimos detrás de todos los fríos cálculos de los matemáticos.