Que son los fractales: la belleza de las matemáticas y el infinito

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Última modificación: 2023-12-16 16:02

Los fractales se conocen desde hace un siglo, se han estudiado bien y tienen numerosas aplicaciones en la vida. Sin embargo, este fenómeno se basa en una idea muy simple: una multitud de formas, infinitas en belleza y variedad, se pueden obtener a partir de estructuras relativamente simples usando solo dos operaciones: copiar y escalar.

¿Qué tienen en común un árbol, una orilla del mar, una nube o los vasos sanguíneos en nuestra mano? A primera vista, puede parecer que todos estos objetos no tienen nada en común. Sin embargo, de hecho, hay una propiedad de estructura inherente a todos los objetos enumerados: son auto-similares. Desde la rama, así como desde el tronco del árbol, hay ramas más pequeñas, de ellas, incluso más pequeñas, etc., es decir, la rama es como todo el árbol.

El sistema circulatorio está organizado de manera similar: las arteriolas salen de las arterias y de ellas, los capilares más pequeños a través de los cuales el oxígeno ingresa a los órganos y tejidos. Miremos imágenes de satélite de la costa del mar: veremos bahías y penínsulas; echémosle un vistazo, pero a vista de pájaro: veremos bahías y cabos; Ahora imaginemos que estamos parados en la playa y mirándonos los pies: siempre hay guijarros que sobresalen en el agua más que el resto.

Es decir, la costa permanece similar a sí misma cuando se amplía. El matemático estadounidense (aunque criado en Francia) Benoit Mandelbrot llamó a esta propiedad de los objetos fractalidad, ya tales objetos en sí mismos, fractales (del latín fractus, roto).

¿Qué es un fractal?

Este concepto no tiene una definición estricta. Por tanto, la palabra "fractal" no es un término matemático. Por lo general, un fractal es una figura geométrica que satisface una o más de las siguientes propiedades: • Tiene una estructura compleja a cualquier aumento (a diferencia de, por ejemplo, una línea recta, cualquier parte de la cual es la figura geométrica más simple: una segmento de línea). • Es (aproximadamente) similar a sí mismo. • Tiene una dimensión fractal de Hausdorff (fractal), que es mayor que la topológica. • Puede construirse con procedimientos recursivos.

Geometría y álgebra

El estudio de los fractales a finales de los siglos XIX y XX fue más episódico que sistemático, porque los matemáticos anteriores principalmente estudiaron objetos "buenos" que eran susceptibles de investigación utilizando métodos y teorías generales. En 1872, el matemático alemán Karl Weierstrass construye un ejemplo de función continua que no es diferenciable en ninguna parte. Sin embargo, su construcción fue completamente abstracta y difícil de percibir.

Por lo tanto, en 1904, el sueco Helge von Koch inventó una curva continua, que no tiene tangente en ninguna parte, y es bastante simple de dibujar. Resultó que tiene las propiedades de un fractal. Una de las variantes de esta curva se llama "copo de nieve de Koch".

Las ideas de auto-semejanza de figuras fueron recogidas por el francés Paul Pierre Levy, futuro mentor de Benoit Mandelbrot. En 1938, publicó su artículo "Plano y curvas y superficies espaciales, que constan de partes similares al todo", que describe otro fractal: la curva C de Lévy. Todos estos fractales anteriores se pueden atribuir condicionalmente a una clase de fractales constructivos (geométricos).

Otra clase son los fractales dinámicos (algebraicos), que incluyen el conjunto de Mandelbrot. Los primeros estudios en esta dirección comenzaron a principios del siglo XX y están asociados con los nombres de los matemáticos franceses Gaston Julia y Pierre Fatou. En 1918, se publicaron las memorias de Julia de casi doscientas páginas, dedicadas a iteraciones de funciones racionales complejas, en las que se describían los conjuntos de Julia, una familia completa de fractales estrechamente relacionados con el conjunto de Mandelbrot. Esta obra fue galardonada con el premio de la Academia Francesa, pero no contenía una sola ilustración, por lo que era imposible apreciar la belleza de los objetos descubiertos.

A pesar de que este trabajo glorificó a Julia entre los matemáticos de la época, fue rápidamente olvidado. No fue hasta medio siglo después que las computadoras volvieron a llamar la atención: fueron ellas quienes hicieron visible la riqueza y la belleza del mundo de los fractales.

Dimensiones fractales

Como sabe, la dimensión (número de medidas) de una figura geométrica es el número de coordenadas necesarias para determinar la posición de un punto que se encuentra en esta figura.

Por ejemplo, la posición de un punto en una curva está determinada por una coordenada, en una superficie (no necesariamente un plano) por dos coordenadas, en un espacio tridimensional por tres coordenadas.

Desde un punto de vista matemático más general, puede definir la dimensión de esta manera: un aumento en las dimensiones lineales, digamos, dos veces, para objetos unidimensionales (desde un punto de vista topológico) (segmento) conduce a un aumento de tamaño (longitud) dos veces, para bidimensional (cuadrado) el mismo aumento en las dimensiones lineales conduce a un aumento en el tamaño (área) en 4 veces, para tridimensional (cubo) - en 8 veces. Es decir, la dimensión "real" (llamada de Hausdorff) se puede calcular como la relación entre el logaritmo de un aumento en el "tamaño" de un objeto y el logaritmo de un aumento en su tamaño lineal. Es decir, para el segmento D = log (2) / log (2) = 1, para el plano D = log (4) / log (2) = 2, para el volumen D = log (8) / log (2) = 3.

Calculemos ahora la dimensión de la curva de Koch, para cuya construcción el segmento unitario se divide en tres partes iguales y el intervalo medio se reemplaza por un triángulo equilátero sin este segmento. Con un aumento en las dimensiones lineales del segmento mínimo tres veces, la longitud de la curva de Koch aumenta en log (4) / log (3) ~ 1, 26. Es decir, ¡la dimensión de la curva de Koch es fraccionaria!

Ciencia y arte

En 1982 se publicó el libro de Mandelbrot "La geometría fractal de la naturaleza", en el que el autor recopilaba y sistematizaba casi toda la información disponible en ese momento sobre los fractales y la presentaba de manera fácil y accesible. En su presentación, Mandelbrot hizo el énfasis principal no en fórmulas engorrosas y construcciones matemáticas, sino en la intuición geométrica de los lectores. Gracias a las ilustraciones generadas por computadora y los relatos históricos, con los que el autor diluyó hábilmente el componente científico de la monografía, el libro se convirtió en un éxito de ventas y los fractales se hicieron conocidos por el gran público.

Su éxito entre los no matemáticos se debe en gran parte al hecho de que con la ayuda de construcciones y fórmulas muy simples que un estudiante de secundaria puede entender, se obtienen imágenes de asombrosa complejidad y belleza. Cuando las computadoras personales se volvieron lo suficientemente poderosas, apareció incluso toda una tendencia en el arte: la pintura fractal, y casi cualquier propietario de una computadora podía hacerlo. Ahora en Internet, puede encontrar fácilmente muchos sitios dedicados a este tema.

Guerra y paz

Como se señaló anteriormente, uno de los objetos naturales con propiedades fractales es la costa. Una historia interesante está relacionada con él, o más bien, con un intento de medir su longitud, que formó la base del artículo científico de Mandelbrot, y también se describe en su libro "La geometría fractal de la naturaleza".

Este es un experimento que fue organizado por Lewis Richardson, un matemático, físico y meteorólogo muy talentoso y excéntrico. Una de las direcciones de su investigación fue un intento de encontrar una descripción matemática de las causas y la probabilidad de un conflicto armado entre los dos países. Entre los parámetros que tuvo en cuenta se encontraba la longitud de la frontera común de los dos países en guerra. Cuando recopiló datos para experimentos numéricos, encontró que en diferentes fuentes los datos sobre la frontera común entre España y Portugal son muy diferentes.

Esto lo impulsó a descubrir lo siguiente: la longitud de las fronteras de un país depende del gobernante con el que las medimos. Cuanto menor sea la escala, más largo será el borde. Esto se debe al hecho de que con un aumento mayor es posible tener en cuenta cada vez más curvas costeras, que antes se ignoraban debido a la rugosidad de las mediciones. Y si, con cada aumento en la escala, se abren las curvas de las líneas no contabilizadas anteriormente, entonces resulta que la longitud de los límites es infinita. Es cierto que, en realidad, esto no sucede: la precisión de nuestras mediciones tiene un límite finito. Esta paradoja se llama efecto Richardson.

Fractales constructivos (geométricos)

El algoritmo para construir un fractal constructivo en el caso general es el siguiente. En primer lugar, necesitamos dos formas geométricas adecuadas, llamémoslas base y fragmento. En la primera etapa, se representa la base del futuro fractal. Luego, algunas de sus partes se reemplazan con un fragmento tomado a una escala adecuada; esta es la primera iteración de la construcción. Luego, la figura resultante vuelve a cambiar algunas partes en figuras similares a un fragmento, y así sucesivamente Si continuamos este proceso indefinidamente, entonces en el límite obtenemos un fractal.

Consideremos este proceso usando la curva de Koch como ejemplo. Como base para la curva de Koch, puede tomar cualquier curva (para el "copo de nieve de Koch" es un triángulo). Pero nos limitaremos al caso más simple: un segmento. Un fragmento es una línea discontinua que se muestra en la parte superior de la figura. Después de la primera iteración del algoritmo, en este caso, el segmento inicial coincidirá con el fragmento, luego cada uno de sus segmentos constituyentes será reemplazado por una línea discontinua, similar a un fragmento, etc. La figura muestra los primeros cuatro pasos de este proceso.

En el lenguaje de las matemáticas: fractales dinámicos (algebraicos)

Los fractales de este tipo surgen en el estudio de sistemas dinámicos no lineales (de ahí el nombre). El comportamiento de dicho sistema puede describirse mediante una función no lineal compleja (polinomio) f (z). Tome algún punto de partida z0 en el plano complejo (consulte la barra lateral). Ahora considere una secuencia infinita de números en el plano complejo, cada uno de los cuales se obtiene del anterior: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Dependiendo del punto inicial z0, tal secuencia puede comportarse de manera diferente: tiende al infinito cuando n -> ∞; converger a algún punto final; tomar cíclicamente una serie de valores fijos; también son posibles opciones más complejas.

Números complejos

Un número complejo es un número que consta de dos partes: real e imaginaria, es decir, la suma formal x + iy (aquí xey son números reales). yo es el llamado. unidad imaginaria, es decir, un número que satisface la ecuación i ^ 2 = -1. Las operaciones matemáticas básicas se definen sobre números complejos: suma, multiplicación, división, resta (solo la operación de comparación no está definida). Para mostrar números complejos, a menudo se usa una representación geométrica: en el plano (se llama complejo), la parte real se coloca en la abscisa y la parte imaginaria en la ordenada, mientras que el número complejo corresponderá a un punto con cartesiano coordenadas xey.

Por tanto, cualquier punto z del plano complejo tiene su propio carácter de comportamiento durante las iteraciones de la función f (z), y todo el plano se divide en partes. En este caso, los puntos que se encuentran en los límites de estas partes tienen la siguiente propiedad: para un desplazamiento arbitrariamente pequeño, la naturaleza de su comportamiento cambia drásticamente (tales puntos se denominan puntos de bifurcación). Entonces, resulta que los conjuntos de puntos con un tipo específico de comportamiento, así como los conjuntos de puntos de bifurcación, a menudo tienen propiedades fractales. Estos son los conjuntos de Julia para la función f (z).

Familia de dragones

Al variar la base y el fragmento, puede obtener una asombrosa variedad de fractales constructivos.

Además, se pueden realizar operaciones similares en un espacio tridimensional. Ejemplos de fractales volumétricos son la esponja de Menger, la pirámide de Sierpinski y otros.

La familia del dragón también se conoce como fractales constructivos. A veces se les llama por el nombre de los descubridores "dragones de la Carretera-Harter" (en su forma se parecen a los dragones chinos). Hay varias formas de trazar esta curva. El más simple e intuitivo de ellos es este: debe tomar una tira de papel lo suficientemente larga (cuanto más delgado sea el papel, mejor) y doblarlo por la mitad. Luego, dóblelo dos veces nuevamente en la misma dirección que la primera vez.

Después de varias repeticiones (generalmente después de cinco o seis pliegues, la tira se vuelve demasiado gruesa para doblarla más prolijamente), debe doblar la tira hacia atrás y tratar de formar ángulos de 90 ° en los pliegues. Entonces la curva del dragón se verá de perfil. Por supuesto, esto será solo una aproximación, como todos nuestros intentos de representar objetos fractales. La computadora le permite representar muchos más pasos en este proceso y el resultado es una figura muy hermosa.

El conjunto de Mandelbrot está construido de una manera ligeramente diferente. Considere la función fc (z) = z ^ 2 + c, donde c es un número complejo. Construyamos una secuencia de esta función con z0 = 0, dependiendo del parámetro c, puede divergir hasta el infinito o permanecer acotada. Además, todos los valores de c para los que esta secuencia está acotada forman el conjunto de Mandelbrot. Fue estudiado en detalle por el propio Mandelbrot y otros matemáticos, quienes descubrieron muchas propiedades interesantes de este conjunto.

Se ve que las definiciones de los conjuntos de Julia y Mandelbrot son similares entre sí. De hecho, estos dos conjuntos están estrechamente relacionados. Es decir, el conjunto de Mandelbrot son todos los valores del parámetro complejo c para el cual el conjunto de Julia fc (z) está conectado (un conjunto se llama conectado si no se puede dividir en dos partes disjuntas, con algunas condiciones adicionales).

Fractales y vida

Hoy en día, la teoría de los fractales se usa ampliamente en varios campos de la actividad humana. Además de un objeto puramente científico para la investigación y la pintura fractal ya mencionada, los fractales se usan en la teoría de la información para comprimir datos gráficos (aquí se usa principalmente la propiedad de auto-similitud de los fractales, después de todo, para recordar un pequeño fragmento de un dibujo y transformaciones con las que se puede sacar el resto de las piezas, se requiere mucha menos memoria que para almacenar todo el archivo).

Al agregar perturbaciones aleatorias a las fórmulas que definen el fractal, se pueden obtener fractales estocásticos que transmiten de manera muy plausible algunos objetos reales: elementos en relieve, la superficie de cuerpos de agua, algunas plantas, que se utilizan con éxito en física, geografía y gráficos por computadora para lograr mayores similitud de objetos simulados con reales. En electrónica, se producen antenas que tienen forma fractal. Al ocupar poco espacio, proporcionan una recepción de señal de muy alta calidad.

Los economistas utilizan fractales para describir las curvas de tipos de cambio (una propiedad descubierta por Mandelbrot). Con esto concluye esta pequeña excursión al asombrosamente hermoso y diverso mundo de los fractales.