¿Forma plana, esférica o hiperbólica de nuestro Universo?

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Última modificación: 2023-12-16 16:02

En nuestra opinión, el universo es infinito. Hoy sabemos que la Tierra tiene forma de esfera, pero rara vez pensamos en la forma del Universo. En geometría, hay muchas formas tridimensionales como alternativa al espacio infinito "familiar". Los autores explican la diferencia de la forma más accesible.

Mirando el cielo nocturno, parece que el espacio continúa eternamente en todas direcciones. Así es como imaginamos el Universo, pero no el hecho de que sea cierto. Después de todo, hubo una época en la que todo el mundo pensaba que la Tierra era plana: la curvatura de la superficie terrestre es imperceptible y la idea de que la Tierra es redonda parecía incomprensible.

Hoy sabemos que la Tierra tiene forma de esfera. Pero rara vez pensamos en la forma del universo. A medida que la esfera reemplazó a la tierra plana, otras formas tridimensionales ofrecen alternativas al espacio infinito "familiar".

Se pueden hacer dos preguntas sobre la forma del universo, separadas pero interrelacionadas. Uno es sobre geometría: cálculos meticulosos de ángulos y áreas. Otro es sobre topología: cómo las partes separadas se fusionan en una sola forma.

Los datos cosmológicos sugieren que la parte visible del Universo es lisa y homogénea. La estructura local del espacio se ve casi igual en todos los puntos y en todas las direcciones. Solo tres formas geométricas corresponden a estas características: plana, esférica e hiperbólica. Echemos un vistazo a estas formas a su vez, algunas consideraciones topológicas y conclusiones basadas en datos cosmológicos.

Universo plano

De hecho, esta es la geometría de la escuela. Los ángulos de un triángulo suman 180 grados y el área de un círculo es πr2. El ejemplo más simple de una forma tridimensional plana es un espacio infinito ordinario, los matemáticos lo llaman euclidiano, pero hay otras opciones planas.

No es fácil imaginar estas formas, pero podemos conectar nuestra intuición pensando en dos dimensiones en lugar de tres. Además del plano euclidiano habitual, podemos crear otras formas planas cortando un trozo del plano y pegando sus bordes. Digamos que cortamos una hoja de papel rectangular y pegamos los bordes opuestos con cinta adhesiva. Si pega el borde superior al borde inferior, obtendrá un cilindro.

También puede pegar el borde derecho al izquierdo, luego obtenemos una rosquilla (los matemáticos llaman a esta forma un toro).

Probablemente objetará: "Algo no es muy plano". Y tendrás razón. Estábamos engañando un poco sobre el toro plano. Si realmente intenta hacer un toro con un trozo de papel de esta manera, se encontrará con algunas dificultades. Es fácil hacer un cilindro, pero no funcionará pegar sus extremos: el papel se arrugará a lo largo del círculo interno del toro, pero no será suficiente para el círculo externo. Entonces tienes que llevar algún tipo de material elástico. Pero el estiramiento cambia la longitud y los ángulos y, por lo tanto, toda la geometría.

Es imposible construir un toro físico realmente suave a partir de un material plano dentro de un espacio tridimensional ordinario sin distorsionar la geometría. Queda por especular de forma abstracta sobre cómo es vivir dentro de un toro plano.

Imagina que eres un ser bidimensional cuyo universo es un toro plano. Dado que la forma de este universo se basa en una hoja de papel plana, todos los hechos geométricos que estamos acostumbrados siguen siendo los mismos, al menos en una escala limitada: los ángulos de un triángulo suman 180 grados, y así sucesivamente. Pero con el cambio en la topología global mediante el recorte y el encolado, la vida cambiará drásticamente.

Para empezar, el toro tiene líneas rectas que dan vueltas y regresan al punto de partida.

En un toro distorsionado, parecen curvas, pero para los habitantes de un toro plano, parecen rectas. Y dado que la luz viaja en línea recta, si miras directamente en cualquier dirección, te verás a ti mismo desde atrás.

Es como si, en la hoja de papel original, la luz pasara a través de ti, fuera al borde izquierdo y luego reapareciera a la derecha, como en un videojuego.

Aquí hay otra forma de pensarlo: tú (o un rayo de luz) cruzas uno de los cuatro bordes y te encuentras en una nueva habitación, pero en realidad es la misma habitación, solo que desde un punto de vista diferente. Deambulando por un universo así, se encontrará con un sinfín de copias de la habitación original.

Esto significa que tomará un número infinito de copias de sí mismo dondequiera que mire. Este es un tipo de efecto espejo, solo que estas copias no son exactamente reflejos.

En el toro, cada uno de ellos corresponde a uno u otro bucle, a lo largo del cual la luz regresa a ti.

De la misma manera, obtenemos un toro plano tridimensional pegando las caras opuestas de un cubo u otra caja. No podremos representar este espacio dentro de un espacio infinito ordinario, simplemente no encajará, pero podremos especular de manera abstracta sobre la vida dentro de él.

Si la vida en un toro bidimensional es como un conjunto bidimensional sin fin de habitaciones rectangulares idénticas, entonces la vida en un toro tridimensional es como un conjunto tridimensional sin fin de habitaciones cúbicas idénticas. Usted también verá un número infinito de copias propias.

El toro tridimensional es solo una de las diez variantes del mundo plano finito. También hay mundos planos infinitos, por ejemplo, un análogo tridimensional de un cilindro infinito. Cada uno de estos mundos tendrá su propia "sala de la risa" con "reflejos".

¿Podría nuestro universo ser una de las formas planas?

Cuando miramos al espacio, no vemos un número infinito de nuestras propias copias. Independientemente, eliminar las formas planas no es fácil. Primero, todos tienen la misma geometría local que el espacio euclidiano, por lo que no será posible distinguirlos con medidas locales.

Digamos que incluso vio su propia copia, esta imagen distante solo muestra cómo se veía usted (o su galaxia en su conjunto) en el pasado distante, ya que la luz ha recorrido un largo camino hasta llegar a usted. Tal vez incluso veamos nuestras propias copias, pero cambiaron más allá del reconocimiento. Además, diferentes copias están a diferentes distancias de usted, por lo que no son iguales. Y además, tan lejos que todavía no veremos nada.

Para sortear estas dificultades, los astrónomos no suelen buscar copias de sí mismos, sino características repetidas en el fenómeno visible más distante: la radiación cósmica de fondo de microondas, que es una reliquia del Big Bang. En la práctica, esto significa buscar pares de círculos con patrones coincidentes de puntos calientes y fríos; se supone que son iguales, solo que desde diferentes lados.

Los astrónomos llevaron a cabo una búsqueda de este tipo en 2015 gracias al telescopio espacial Planck. Reunieron datos sobre los tipos de círculos coincidentes que esperamos ver dentro de un toro 3D plano u otra forma 3D plana, una llamada placa, pero no encontraron nada. Esto significa que si vivimos en un toro, entonces parece ser tan grande que cualquier fragmento repetido se encuentra fuera del universo observable.

Forma esférica

Estamos muy familiarizados con las esferas bidimensionales: esta es la superficie de una bola, una naranja o la Tierra. Pero, ¿y si nuestro universo es una esfera tridimensional?

Dibujar una esfera tridimensional es difícil, pero es fácil describirla con una simple analogía. Si una esfera bidimensional es una colección de todos los puntos a una distancia fija de algún punto central en el espacio tridimensional ordinario, una esfera tridimensional (o "trisfera") es una colección de todos los puntos a una distancia fija de algún punto central en el espacio de cuatro dimensiones.

La vida dentro de una trisfera es muy diferente a la vida en el espacio plano. Para visualizarlo, imagina que eres un ser bidimensional en una esfera bidimensional. La esfera bidimensional es todo el Universo, por lo tanto, no puedes ver el espacio tridimensional que te rodea y no puedes entrar en él. En este universo esférico, la luz viaja por el camino más corto: en grandes círculos. Pero estos círculos te parecen directos.

Ahora imagina que tú y tu amigo 2D están pasando el rato en el Polo Norte y él salió a caminar. Al alejarse, al principio disminuirá gradualmente en su círculo visual, como en el mundo ordinario, aunque no tan rápido como estamos acostumbrados. Esto se debe a que a medida que su círculo visual crece, su amigo lo ocupa cada vez menos.

Pero en cuanto tu amigo cruza el ecuador, sucede algo extraño: comienza a aumentar de tamaño, aunque en realidad sigue alejándose. Esto se debe a que el porcentaje que ocupan en su círculo visual está aumentando.

A tres metros del Polo Sur, parecerá que tu amigo está parado a tres metros de ti.

Habiendo alcanzado el Polo Sur, llenará por completo todo su horizonte visible.

Y cuando no haya nadie en el Polo Sur, tu horizonte visual será aún más extraño: eres tú. Esto se debe a que la luz que emites se esparcirá por toda la esfera hasta que regrese.

Esto afecta directamente la vida en el reino 3D. Cada punto de la trisfera tiene un opuesto, y si hay un objeto allí, lo veremos en todo el cielo. Si no hay nada allí, nos veremos en el fondo, como si nuestra apariencia se superpusiera a un globo, luego se volviera al revés y se inflara en todo el horizonte.

Pero a pesar de que la trisfera es el modelo fundamental de la geometría esférica, está lejos de ser el único espacio posible. Así como construimos diferentes modelos planos cortando y pegando piezas de espacio euclidiano, también podemos construir modelos esféricos pegando piezas adecuadas de trisfera. Cada una de estas formas pegadas tendrá, como el toro, el efecto de una "sala de la risa", solo el número de habitaciones en formas esféricas será finito.

¿Y si nuestro universo es esférico?

Incluso los más narcisistas de nosotros no nos vemos como el fondo en lugar del cielo nocturno. Pero, como en el caso de un toro plano, el hecho de que no veamos algo no significa en absoluto que no exista. Los límites de un universo esférico pueden ser más grandes que los límites del mundo visible y el fondo simplemente no es visible.

Pero a diferencia de un toro, un universo esférico se puede detectar mediante mediciones locales. Las formas esféricas difieren del espacio euclidiano infinito no solo en la topología global, sino también en la geometría pequeña. Por ejemplo, dado que las líneas rectas en la geometría esférica son círculos grandes, los triángulos son más "regordetes" que los euclidianos, y la suma de sus ángulos excede los 180 grados.

Básicamente, medir triángulos cósmicos es la principal forma de comprobar qué tan curvo es el universo. Para cada punto caliente o frío en el fondo cósmico de microondas, se conocen su diámetro y la distancia a la Tierra, que forman los tres lados del triángulo. Podemos medir el ángulo formado por la mancha en el cielo nocturno, y esta será una de las esquinas del triángulo. Luego podemos verificar si la combinación de las longitudes de los lados y la suma de los ángulos corresponde a la geometría plana, esférica o hiperbólica (donde la suma de los ángulos del triángulo es menor a 180 grados).

La mayoría de estos cálculos, junto con otras medidas de curvatura, asumen que el universo es completamente plano o muy cerca de él. Un equipo de investigación sugirió recientemente que algunos de los datos de 2018 del Telescopio Espacial Planck hablan más a favor de un universo esférico, aunque otros investigadores argumentaron que la evidencia presentada podría atribuirse a un error estadístico.

Geometría hiperbólica

A diferencia de una esfera, que se cierra sobre sí misma, la geometría hiperbólica o el espacio con curvatura negativa se abre hacia afuera. Esta es la geometría del sombrero de ala ancha, el arrecife de coral y la silla de montar. El modelo básico de la geometría hiperbólica es el espacio infinito, al igual que el plano euclidiano. Pero dado que una forma hiperbólica se expande hacia afuera mucho más rápido que una plana, no hay forma de encajar ni siquiera un plano hiperbólico bidimensional dentro del espacio euclidiano ordinario, si no queremos distorsionar su geometría. Pero hay una imagen distorsionada del plano hiperbólico conocido como disco de Poincaré.

Desde nuestro punto de vista, los triángulos cerca del círculo límite parecen ser mucho más pequeños que los que están cerca del centro, pero desde el punto de vista de la geometría hiperbólica, todos los triángulos son iguales. Si intentáramos representar estos triángulos realmente del mismo tamaño, tal vez usando material elástico e inflando cada triángulo por turno, moviéndonos desde el centro hacia afuera, nuestro disco se parecería a un sombrero de ala ancha y se doblaría cada vez más. Y a medida que se acerque a la frontera, esta curvatura se saldrá de control.

En la geometría euclidiana ordinaria, la circunferencia de un círculo es directamente proporcional a su radio, pero en la geometría hiperbólica, el círculo crece exponencialmente en relación con el radio. Se forma una pila de triángulos cerca del límite del disco hiperbólico.

Debido a esta característica, a los matemáticos les gusta decir que es fácil perderse en el espacio hiperbólico. Si tu amigo se aleja de ti en el espacio euclidiano normal, comenzará a alejarse, pero más bien lentamente, porque tu círculo visual no crece tan rápido. En el espacio hiperbólico, su círculo visual se expande exponencialmente, por lo que su amigo pronto se reducirá a una mota infinitamente pequeña. Por lo tanto, si no ha seguido su ruta, es poco probable que lo encuentre más tarde.

Incluso en geometría hiperbólica, la suma de los ángulos de un triángulo es inferior a 180 grados; por ejemplo, la suma de los ángulos de algunos triángulos del mosaico del disco de Poincaré es de solo 165 grados.

Sus lados parecen ser indirectos, pero eso se debe a que estamos viendo la geometría hiperbólica a través de una lente distorsionante. Para un habitante del disco de Poincaré, estas curvas son en realidad líneas rectas, por lo que la forma más rápida de llegar del punto A al punto B (ambos en el borde) es a través de un corte hacia el centro.

Existe una forma natural de hacer un análogo tridimensional del disco de Poincaré: tome una bola tridimensional y rellénela con formas tridimensionales, que disminuyen gradualmente a medida que se acercan a la esfera límite, como triángulos en un disco de Poincaré. Y, al igual que con los planos y las esferas, podemos crear una gran cantidad de otros espacios hiperbólicos tridimensionales cortando piezas adecuadas de una bola hiperbólica tridimensional y pegando sus caras.

Bueno, ¿es nuestro Universo hiperbólico?

La geometría hiperbólica, con sus triángulos estrechos y círculos que crecen exponencialmente, no se parece en nada al espacio que nos rodea. De hecho, como ya hemos señalado, la mayoría de las medidas cosmológicas se inclinan hacia un universo plano.

Pero no podemos descartar que vivamos en un mundo esférico o hiperbólico, porque pequeños fragmentos de ambos mundos parecen casi planos. Por ejemplo, la suma de los ángulos de pequeños triángulos en geometría esférica es solo un poco más de 180 grados, y en geometría hiperbólica es solo un poco menos.

Es por eso que los antiguos pensaban que la Tierra era plana: la curvatura de la Tierra no es visible a simple vista. Cuanto más grande es la forma esférica o hiperbólica, más plana es cada una de sus partes, por lo tanto, si nuestro Universo tiene una forma esférica o hiperbólica extremadamente grande, su parte visible es tan cercana a la plana que su curvatura solo puede detectarse con instrumentos ultraprecisos, y aún no los hemos inventado …